Sisteme numerice

Un sistem numeric este un set de reguli pentru reprezentarea numerelor folosind diferite semne numerice. Sistemele numerice sunt clasificate în două tipuri: nepozițional și pozițional.

În sistemele de numere poziționale, valoarea fiecărei cifre nu depinde de poziția pe care o ocupă, adică de locul pe care îl ocupă în setul de cifre. În sistemul numeric roman, există doar șapte cifre: unu (I), cinci (V), zece (X), cincizeci (L), o sută (C), cinci sute (D), o mie (M). Folosind aceste numere (simboluri), numerele rămase sunt scrise prin adunare și scădere. De exemplu, IV este notația numărului 4 (V — I), VI este numărul 6 (V + I) și așa mai departe. Numărul 666 este scris în sistemul roman astfel: DCLXVI.

Această notație este mai puțin convenabilă decât cea pe care o folosim în prezent. Aici șase este scris cu un simbol (VI), șase zeci cu altul (LX), șase sute trei (DC). Este foarte dificil să se efectueze operații aritmetice cu numerele scrise în sistemul numeric roman. De asemenea, un dezavantaj comun al sistemelor non-poziționale este complexitatea reprezentării unor numere suficient de mari în ele, astfel încât să rezulte o notație extrem de greoaie.

Acum luați în considerare același număr 666 în sistemul numeric pozițional. În ea, un singur semn 6 înseamnă numărul unu dacă se află pe ultimul loc, numărul zecilor dacă se află pe penultimul loc și numărul sutelor dacă se află pe locul trei de la final. Acest principiu de scriere a numerelor se numește pozițional (local). Într-o astfel de înregistrare, fiecare cifră primește o valoare numerică în funcție nu numai de stilul său, ci și de locul în care se află atunci când este scris numărul.

În sistemul numeric pozițional, orice număr reprezentat ca A = +a1a2a3 … ann-1an poate fi reprezentat ca o sumă

unde n — numărul finit de cifre din imaginea unui număr, ii număr i-go digit, d — baza sistemului de numere, i — numărul ordinal al categoriei, dm-i — „greutatea” categoriei i-ro . Cifrele ai trebuie să satisfacă inegalitatea 0 <= a <= (d — 1).

Pentru notația zecimală, d = 10 și ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Deoarece numerele formate din unu și zerouri pot fi percepute ca numere zecimale sau binare atunci când sunt utilizate împreună, baza sistemului numeric este de obicei indicată, de exemplu (1100)2-binare, (1100)10-zecimale.

În calculatoarele digitale, alte sisteme decât cele zecimale sunt utilizate pe scară largă: binar, octal și hexazecimal.

Sistem binar

Pentru acest sistem d = 2 și aici sunt permise doar două cifre, adică ai = 0 sau 1.

Orice număr exprimat în sistemul binar este reprezentat ca suma produsului puterii bazei de două ori cifra binară a bitului dat. De exemplu, numărul 101,01 poate fi scris astfel: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, care corespunde numărului din sistemul zecimal: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

În majoritatea calculatoarelor digitale moderne, sistemul de numere binar este folosit pentru a reprezenta numere într-o mașină și pentru a efectua operații aritmetice asupra lor.

Sistemul de numere binare, în comparație cu cel zecimal, face posibilă simplificarea circuitelor și circuitelor dispozitivului aritmetic și a dispozitivului de memorie și creșterea fiabilității computerului. Cifra fiecărui bit al unui număr binar este reprezentată de stările „pornit / oprit” ale unor elemente precum tranzistori, diode, care funcționează în mod fiabil în stările „pornit / oprit”. Dezavantajele sistemului binar includ necesitatea de a traduce conform unui program special datele digitale originale în sistemul numeric binar și rezultatele deciziei în zecimală.

Sistem de numere octale

Acest sistem are baza d == 8. Numerele sunt folosite pentru a reprezenta numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Sistemul de numere octale este utilizat în computer ca ajutor în pregătirea problemelor pentru rezolvare (în procesul de programare), în verificarea funcționării unei mașini și în depanarea unui program. Acest sistem oferă o reprezentare mai scurtă a numărului decât sistemul binar. Sistemul de numere octale vă permite să treceți pur și simplu la sistemul binar.

Sistem de numere hexazecimale

Acest sistem are baza d = 16. 16 caractere sunt folosite pentru a reprezenta numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F și caracterele A … F reprezintă numerele zecimale 10, 11, 12, 13, 14 și 15. Numărul hexazecimal (1D4F) 18 va corespunde zecimalului 7503 deoarece (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Notația hexazecimală permite ca numerele binare să fie scrise mai compact decât octale. Își găsește aplicație în dispozitivele de intrare și ieșire și dispozitivele de afișare a ordinii numerice ale unor computere.

Sistem de numere binar-zecimal

Reprezentarea numerelor în sistem binar-zecimal este următoarea. Notația zecimală a numărului este luată ca bază, iar apoi fiecare dintre cifrele sale (de la 0 la 9) este scrisă sub forma unui număr binar de patru cifre numit tetradă, adică nu este folosit niciun semn pentru a reprezenta fiecare cifră a sistemului zecimal, dar patru.

De exemplu, zecimala 647,59 ar corespunde BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Sistemul de numere binare-zecimale este folosit ca sistem de numere intermediare și pentru codificarea numerelor de intrare și de ieșire.

Reguli pentru transferul unui sistem numeric la altul

Schimbul de informații între dispozitivele informatice se realizează în principal prin intermediul numerelor reprezentate în sistemul numeric binar. Cu toate acestea, informațiile sunt prezentate utilizatorului în numere în sistemul zecimal, iar adresarea comenzilor este prezentată în sistemul octal. De aici și nevoia de a transfera numere de la un sistem la altul în procesul de lucru cu un computer. Pentru a face acest lucru, utilizați următoarea regulă generală.

Pentru a converti un număr întreg din orice sistem numeric în altul, este necesar să împărțiți succesiv acest număr la baza noului sistem până când câtul nu este mai mic decât divizorul. Numărul din noul sistem trebuie scris sub formă de resturi de împărțire, începând cu ultimul, adică de la dreapta la stânga.

De exemplu, să convertim zecimalul 1987 în binar:

Numărul zecimal 1987 în format binar este 11111000011, adică. (1987)10 = (11111000011)2

La trecerea de la orice sistem la zecimal, numărul este reprezentat ca suma puterilor bazei cu coeficienții corespunzători, iar apoi se calculează valoarea sumei.

De exemplu, să convertim numărul octal 123 în zecimal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, adică. (123)8 = (83)10

Pentru a transfera partea fracționară a unui număr din orice sistem în altul, este necesar să se efectueze înmulțirea succesivă a acestei fracții și a părților fracționale rezultate ale produsului pe baza noului sistem de numere. Partea fracționată a unui număr în noul sistem se formează sub formă de părți întregi din produsele rezultate, începând de la primul. Procesul de înmulțire continuă până când se calculează un număr cu o anumită precizie.

De exemplu, să convertim fracția zecimală 0,65625 în sistemul numeric binar:

Deoarece partea fracțională a celui de-al cincilea produs constă numai din zerouri, înmulțirea ulterioară nu este necesară. Aceasta înseamnă că zecimala dată este convertită în binar fără eroare, adică. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Conversia de la octal și hexazecimal la binar și invers nu este dificilă. Acest lucru se datorează faptului că bazele lor (d — 8 și d — 16) corespund numerelor întregi de două (23 = 8 și 24 = 16).

Pentru a converti numerele octale sau hexazecimale în binare, este suficient să înlocuiți fiecare dintre numerele lor cu un număr binar de trei sau, respectiv, patru cifre.

De exemplu, să traducem numărul octal (571)8 și numărul hexazecimal (179)16 în sistemul numeric binar.

În ambele cazuri obținem același rezultat, adică. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Pentru a converti un număr din binar-zecimal în zecimal, trebuie să înlocuiți fiecare tetradă a numărului reprezentat în binar-zecimal cu o cifră reprezentată în zecimală.

De exemplu, să scriem numărul (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 în notație zecimală, i.e. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)