Legile contactului Circuit Algebra, Boolean Algebra

O înregistrare analitică a structurii și condițiilor de funcționare a circuitelor relee face posibilă efectuarea transformărilor analitice echivalente ale circuitelor, adică prin transformarea formulelor structurale, găsirea unor scheme similare în funcționarea lor. Metodele de conversie sunt dezvoltate în mod special pentru formulele structurale care exprimă circuite de contact.

Pentru circuitele de contact, se folosește aparatul matematic al algebrei logicii, mai exact, una dintre cele mai simple varietăți ale sale, numită calcul propozițional sau algebră booleană (după matematicianul secolului trecut J. Boole).

Calculul propozițional a fost dezvoltat inițial pentru a studia dependența (adevărul sau falsitatea judecăților complexe de adevărul sau falsitatea propozițiilor simple care le compun. În esență, calculul propozițional este o algebră a două numere, adică o algebră în care fiecare argument individual și fiecare funcție poate avea una din două valori.

Aceasta determină posibilitatea utilizării algebrei booleene pentru transformarea circuitelor de contact, deoarece fiecare dintre argumentele (contactele) incluse în formula structurală poate lua doar două valori, adică poate fi închisă sau deschisă, iar întreaga funcție reprezentată de structura structurală. formula poate exprima fie o buclă închisă, fie o buclă deschisă.

Algebra booleană introduce:

1) obiecte care, ca și în algebra obișnuită, au nume: variabile și funcții independente — totuși, spre deosebire de algebra obișnuită, în algebra booleană ambele pot lua doar două valori: 0 și 1;

2) operații logice de bază:

• adunare logică (sau disjuncție, SAU logic, notată cu semnul ?), care se definește astfel: rezultatul operației este 0 dacă și numai dacă toate argumentele operației sunt egale cu 0, în caz contrar rezultatul este 1;

• înmulțire logică (sau concatenare, ȘI logic, notată cu ?, sau deloc specificată) care este definită astfel: rezultatul operației este 1 dacă și numai dacă toate argumentele operației sunt egale cu 1, în caz contrar rezultatul este 0;

• negație (sau invers, NOT logic, indicat printr-o bară deasupra argumentului), care se definește astfel: rezultatul operației are valoarea opusă argumentului;

3) axiome (legile algebrei booleene), care definesc regulile de transformare a expresiilor logice.

Rețineți că fiecare dintre operațiile logice poate fi efectuată atât pe variabile, cât și pe funcții, care se vor numi mai jos funcții booleene... Amintim că, prin analogie cu algebra obișnuită, în algebra booleană, operația de înmulțire logică are prioritate față de cea logică. operatie de adaugare.

Expresiile booleene se formează prin combinarea operațiilor logice pe un număr de obiecte (variabile sau funcții), numite argumente ale operației.

Transformarea expresiilor logice folosind legile algebrei booleene se realizează de obicei cu scopul de a minimiza, deoarece cu cât expresia este mai simplă, cu atât este mai mică complexitatea lanțului logic, care este implementarea tehnică a expresiei logice.

Legile algebrei booleene sunt prezentate ca un set de axiome și consecințe. Acestea pot fi verificate pur și simplu prin înlocuirea diferitelor valori ale variabilelor.

Analogul tehnic al oricărei expresii logice pentru o funcție booleană este o diagramă logică... În acest caz, variabilele de care depinde o funcție booleană sunt conectate la intrările externe ale acestui circuit, valoarea unei funcții booleene se formează la ieșirea externă a circuitului și fiecare operație logică într-o expresie logică este implementată de un element logic.

Astfel, pentru fiecare set de semnale de intrare la ieșirea circuitului logic se generează un semnal care corespunde valorii unei funcții booleene a acestui set de variabile (în continuare vom folosi următoarea convenție: 0 — nivel scăzut al semnalului , 1 — nivel ridicat de semnal).

Când construim circuite logice, vom presupune că variabilele sunt alimentate la intrare într-un cod de parafază (adică sunt disponibile atât valorile directe, cât și cele inverse ale variabilelor).

Tabelul 1 prezintă denumirile grafice convenționale ale unor elemente logice în conformitate cu GOST 2.743-91, precum și omologii lor străini.

Pe lângă elementele care efectuează cele trei operații ale algebrei booleene (ȘI, SAU, NU), în tab. 1 prezintă elementele care efectuează operații derivate din principalele:

— AND -NOT — negația înmulțirii logice, numită și mutare Schaefer (notat cu |)

— OR -NOT — negația complementului logic, numită și săgeata lui Peirce (notat cu ?)

Prin conectarea în serie a porților logice, puteți implementa orice funcție booleană.

Formulele structurale care exprimă circuite relee în general, adică care conțin simboluri ale vultururilor care reacţionează, nu pot fi considerate funcții a două valori care exprimă doar circuit închis sau deschis. Prin urmare, atunci când lucrați cu astfel de funcții, apar o serie de noi dependențe care depășesc limitele algebrei booleene.

În algebra booleană, există patru perechi de legi de bază: două deplasări, două combinatorii, două distributive și două inversiuni legale. Aceste legi stabilesc echivalența diferitelor expresii, adică ele consideră expresii care pot fi înlocuite una cu cealaltă ca și substituirea identităților în algebra obișnuită. Ca simbol de echivalență luăm simbolul care este același cu simbolul de egalitate din algebra obișnuită (=).

Valabilitatea legilor algebrei booleene pentru circuitele de contact va fi stabilită prin luarea în considerare a circuitelor corespunzătoare laturii stânga și dreaptă a expresiilor echivalente.

Legile de călătorie

Pentru a adăuga: x + y = y + x

Schemele corespunzătoare acestor expresii sunt prezentate în Fig. 1, a.

Circuitele stânga și dreapta sunt în mod normal circuite deschise, fiecare dintre ele se închide atunci când unul dintre elemente (X sau Y) este declanșat, adică aceste circuite sunt echivalente. Pentru înmulțire: x ·y = y ·NS.

Schemele corespunzătoare acestor expresii sunt prezentate în Fig. 1b, echivalența lor este, de asemenea, evidentă.

Orez. 1

Legile combinației

Pentru adunare: (x + y) + z = x + (y + z)

Pentru înmulțire: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Perechile de circuite echivalente corespunzătoare acestor expresii sunt prezentate în Fig. 2, a, b

Orez. 2

Legile de distribuție

Înmulțire versus adunare: (x + y) +z = x + (y + z)

Adunare vs Înmulțire. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Schemele corespunzătoare acestor expresii sunt prezentate în Fig. 3, a, b.

Orez. 3.

Echivalența acestor scheme poate fi ușor verificată prin luarea în considerare a diferitelor combinații de acționare a contactului.

Legile inversiunii

La adăugare: NS + c = NS·c

Bara de deasupra părții stângi a expresiei este un semn de negație sau inversare. Acest semn indică faptul că întreaga funcție are sensul opus față de expresia de sub semnul de negație. Nu este posibil să se deseneze o diagramă corespunzătoare întregii funcții inverse, dar se poate desena o diagramă corespunzătoare expresiei de sub semnul negativ. Astfel, formula poate fi ilustrată cu diagramele prezentate în Fig. 4, a.

Orez. 4.

Diagrama din stânga corespunde expresiei x + y, iar cea din dreapta lui NS ·c

Aceste două circuite sunt opuse unul față de celălalt în funcționare și anume: dacă circuitul din stânga cu elemente neexcitate X, Y este un circuit deschis, atunci circuitul din dreapta este închis. Dacă în circuitul din stânga, la declanșarea unuia dintre elemente, circuitul se închide, iar în circuitul din dreapta, dimpotrivă, se deschide.

Deoarece, prin definiția semnului negativ, funcția x + y este inversul funcției x + y, atunci este evident că x + y = NS·in.

În ceea ce privește înmulțirea: NS · c = NS + c

Schemele corespunzătoare sunt prezentate în fig. 4, b.

Translocative și combinaționale și legi și legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea (corespund legilor similare ale algebrei obișnuite).Prin urmare, în cazul transformării formulelor structurale în ordinea adunării și înmulțirii termenilor, plasarea termenilor în afara parantezelor și extinderea parantezelor, puteți respecta regulile stabilite pentru lucrul cu expresii algebrice obișnuite. Legea distributivă a adunării cu privire la înmulțire și legile inversării sunt specifice algebrei booleene.