Legea Biot-Savart și teorema circulației vectorului de inducție magnetică

În 1820, oamenii de știință francezi Jean-Baptiste Biot și Félix Savard, în cursul unor experimente comune pentru a studia câmpurile magnetice ale curenților continui, au stabilit fără echivoc că inducția magnetică a unui curent continuu care trece printr-un conductor poate fi considerată rezultatul acţiunea generală a tuturor secţiunilor acestui fir cu curent. Aceasta înseamnă că câmpul magnetic se supune principiului suprapunerii (principiul suprapunerii câmpurilor).

Câmpul magnetic creat de un grup de fire DC are următoarele inducție magneticăcă valoarea sa este definită ca suma vectorială a inducțiilor magnetice create de fiecare conductor separat. Adică inducția B a conductorului de curent continuu poate fi reprezentată în mod corect prin suma vectorială a inducțiilor elementare dB aparținând secțiunilor elementare dl ale conductorului de curent continuu considerat I.

Este practic nerealist să izolați o secțiune elementară a unui conductor de curent continuu, deoarece DC. mereu închisă.Dar puteți măsura inducția magnetică totală creată de un fir, adică generată de toate părțile elementare ale unui fir dat.

Astfel, legea lui Biot-Sovar vă permite să aflați valoarea inducției magnetice B a secțiunii (lungime cunoscută dl) a conductorului, cu un curent continuu dat I, la o anumită distanță r de această secțiune a conductorului și într-un anumită direcție de observare din secțiunea selectată (stabilită prin sinusul unghiului dintre direcția curentului și direcția de la secțiunea conductorului la punctul examinat din spațiul din apropierea conductorului):

S-a stabilit experimental că direcția vectorului de inducție magnetică este ușor determinată de regula șurubului din dreapta sau a cardanului: dacă direcția mișcării de translație a cardanului în timpul rotației sale coincide cu direcția curentului continuu I în fir, atunci sensul de rotație al mânerului cardanului determină direcția vectorului de inducție magnetică B produs de un curent dat.

Câmpul magnetic al unui fir purtător de curent drept, precum și o ilustrare a aplicării legii lui Bio-Savart la acesta, sunt prezentate în figură:

Deci, dacă integrăm, adică adăugăm, contribuția fiecăreia dintre secțiunile mici ale unui conductor de curent constant la câmpul magnetic total, obținem o formulă pentru găsirea inducției magnetice a unui conductor de curent la o anumită rază R de la acesta. .

În același mod, folosind legea lui Bio-Savard, puteți calcula inducțiile magnetice din curenți continui de diferite configurații și în anumite puncte din spațiu, de exemplu, inducția magnetică în centrul unui circuit circular cu un curent este găsită de următoarea formulă:

Direcția vectorului de inducție magnetică se găsește cu ușurință conform regulii cardanului, doar că acum cardanul trebuie rotit în direcția curentului închis, iar mișcarea înainte a cardanului va arăta direcția vectorului de inducție magnetică.

Adesea calculele cu privire la câmpul magnetic pot fi simplificate dacă luăm în considerare simetria configurației curenților date de câmpul generator. Aici puteți folosi teorema circulației vectorului de inducție magnetică (ca teorema Gauss în electrostatică). Ce este „circulația vectorului de inducție magnetică”?

Să alegem în spațiu o anumită buclă închisă de formă arbitrară și să indicăm condiționat direcția pozitivă a deplasării acesteia.Pentru fiecare punct al acestei bucle, puteți găsi proiecția vectorului de inducție magnetică B pe tangenta la bucla în acel punct. Atunci suma produselor acestor mărimi cu lungimile elementare ale tuturor secțiunilor conturului este circulația vectorului de inducție magnetică B de-a lungul acestui contur:

Practic, toți curenții care creează un câmp magnetic general aici pot fie să pătrundă în circuitul luat în considerare, fie unii dintre ei pot fi în afara acestuia. Conform teoremei de circulație: circulația vectorului de inducție magnetică B a curenților continui într-o buclă închisă este numeric egală cu produsul constantei magnetice mu0 cu suma tuturor curenților continui care pătrund în buclă. Această teoremă a fost formulată de Andre Marie Ampere în 1826:

Luați în considerare figura de mai sus. Aici, curenții I1 și I2 pătrund în circuit, dar sunt direcționați în direcții diferite, ceea ce înseamnă că au semne condiționat diferite.Semnul pozitiv va avea un curent a cărui direcție de inducție magnetică (conform regulii de bază) coincide cu direcția de bypass a circuitului selectat. Pentru aceasta situatie, teorema circulatiei ia forma:

În general, teorema pentru circulația vectorului de inducție magnetică B decurge din principiul suprapunerii câmpului magnetic și din legea Biot-Savard.

De exemplu, derivăm formula pentru inducția magnetică a unui conductor de curent continuu. Să alegem un contur sub formă de cerc, prin centrul căruia trece acest fir, iar firul este perpendicular pe planul conturului.

Astfel, centrul cercului se află direct în centrul conductorului, adică în conductor. Deoarece imaginea este simetrică, vectorul B este îndreptat tangențial la cerc, iar proiecția sa pe tangentă este, prin urmare, aceeași peste tot și este egală cu lungimea vectorului B. Teorema circulației se scrie astfel:

Prin urmare, urmează formula pentru inducția magnetică a unui conductor drept cu curent continuu (această formulă a fost deja dată mai sus). În mod similar, folosind teorema de circulație, se pot găsi cu ușurință inducțiile magnetice ale configurațiilor DC simetrice în care imaginea liniilor de câmp este ușor de vizualizat.

Unul dintre exemplele practic importante de aplicare a teoremei de circulație este găsirea câmpului magnetic în interiorul unui inductor toroidal.

Să presupunem că există o bobină toroidală înfășurată rotund la rotund pe un cadru de carton în formă de gogoașă cu numărul de spire N. În această configurație, liniile de inducție magnetică sunt închise în interiorul gogoșii și au formă de cercuri concentrice (una în interiorul celuilalt). .

Dacă priviți în direcția vectorului de inducție magnetică de-a lungul axei interioare a gogoșii, se dovedește că curentul este direcționat peste tot în sensul acelor de ceasornic (conform regulii cardanului). Luați în considerare una dintre liniile (indicate cu roșu) de inducție magnetică din interiorul bobinei și alegeți-o ca buclă circulară cu raza r. Atunci teorema de circulație pentru un circuit dat se scrie după cum urmează:

Și inducția magnetică a câmpului din interiorul bobinei va fi egală cu:

Pentru o bobină toroidală subțire, în care câmpul magnetic este aproape uniform pe întreaga sa secțiune transversală, este posibil să scrieți expresia inducției magnetice ca și cum ar fi pentru un solenoid infinit lung, ținând cont de numărul de spire pe unitate de lungime - n :

Luați în considerare acum un solenoid infinit de lung în care câmpul magnetic este în întregime în interior. Aplicăm teorema circulației la conturul dreptunghiular selectat.

Aici vectorul de inducție magnetică va da o proiecție diferită de zero doar pe latura 2 (lungimea sa este egală cu L). Folosind parametrul n — „numărul de spire pe unitate de lungime”, obținem o astfel de formă a teoremei de circulație, care în cele din urmă se reduce la aceeași formă ca pentru o bobină toroidală multitonCoy: