Fluxul și circulația unui câmp vectorial

N Bazat pe materialele de curs ale lui Richard Feynman

Când descriem legile electricității în termeni de câmpuri vectoriale, ne confruntăm cu două caracteristici importante din punct de vedere matematic ale câmpului vectorial: fluxul și circulația. Ar fi bine să înțelegem care sunt aceste concepte matematice și care este semnificația lor practică.

A doua parte a întrebării este ușor de răspuns imediat, deoarece conceptele de flux și circulație sunt în centrul Ecuațiile lui Maxwell, pe care se sprijină de fapt toată electrodinamica modernă.

Deci, de exemplu, legea inducției electromagnetice poate fi formulată astfel: circulația câmpului electric E de-a lungul unei bucle închise C este egală cu viteza de modificare a fluxului câmpului magnetic B prin suprafața S delimitată de aceasta. bucla B.

În cele ce urmează, vom descrie destul de simplu, folosind exemple fluide clare, modul în care sunt determinate matematic caracteristicile câmpului, din care sunt preluate și obținute aceste caracteristici ale câmpului.

Fluxul câmpului vectorial

Pentru început, să desenăm o anumită suprafață închisă de formă complet arbitrară în jurul zonei studiate. După ce am descris această suprafață, întrebăm dacă obiectul de studiu, pe care îl numim câmp, curge prin această suprafață închisă. Pentru a înțelege despre ce este vorba, luați în considerare un exemplu lichid simplu.

Să presupunem că investigăm câmpul de viteză al unui anumit fluid. Pentru un astfel de exemplu, este logic să ne întrebăm: trece mai mult fluid prin această suprafață pe unitatea de timp decât curge în volumul delimitat de această suprafață? Cu alte cuvinte, rata de ieșire este întotdeauna direcționată în primul rând din interior spre exterior?

Prin expresia „flux de câmp vectorial” (și pentru exemplul nostru expresia „flux de viteză a fluidului” va fi mai precisă), vom fi de acord să numim cantitatea totală de fluid imaginar care curge prin suprafața volumului considerat mărginit de un dat. suprafață închisă (pentru debitul de fluid, cât de mult fluid urmează din volum pe unitatea de timp).

Ca urmare, fluxul prin elementul de suprafață va fi egal cu produsul dintre suprafața elementului de suprafață cu componenta perpendiculară a vitezei. Apoi, fluxul total (total) pe întreaga suprafață va fi egal cu produsul dintre componentele normale medii a vitezei, pe care o vom număra din interior spre exterior, cu suprafața totală.

Acum să revenim la câmpul electric. Câmpul electric, desigur, nu poate fi considerat viteza curgerii unui lichid, dar avem dreptul să introducem un concept matematic al curgerii, similar cu ceea ce am descris mai sus ca debitul vitezei lichidului.

Numai în cazul unui câmp electric, fluxul acestuia poate fi determinat de componenta normală medie a intensității câmpului electric E. În plus, fluxul câmpului electric poate fi determinat nu neapărat printr-o suprafață închisă, ci prin orice suprafață mărginită. de arie nenulă S .

Circulația unui câmp vectorial

Este bine cunoscut de toată lumea că, pentru o mai mare claritate, câmpurile pot fi descrise sub formă de așa-numite linii de forță, în fiecare punct al cărora direcția tangentei coincide cu direcția intensității câmpului.

Să ne întoarcem la analogia fluidului și să ne imaginăm câmpul de viteză al fluidului Să ne punem o întrebare: fluidul circulă? Adică se mișcă în primul rând în direcția unei bucle închise imaginare?

Pentru o mai mare claritate, imaginați-vă că lichidul dintr-un recipient mare se mișcă cumva (Fig. A) și i-am înghețat brusc aproape tot volumul, dar am reușit să lăsăm volumul neînghețat sub forma unui tub uniform închis în care nu există. frecarea lichidului pe pereti (fig. b).

În afara acestui tub, lichidul s-a transformat în gheață și, prin urmare, nu se mai poate mișca, dar în interiorul tubului lichidul își poate continua mișcarea, cu condiția să existe un impuls predominant care îl antrenează, de exemplu, în sensul acelor de ceasornic (Fig. .°C). Apoi produsul dintre viteza fluidului din tub și lungimea tubului se va numi viteza de circulație a fluidului.

În mod similar, putem defini o circulație pentru un câmp vectorial, deși din nou câmpul nu se poate spune că este viteza a ceva, putem totuși defini caracteristica matematică a „circulației” de-a lungul unui contur.

Deci, circulația unui câmp vectorial de-a lungul unei bucle închise imaginare poate fi definită ca produsul dintre componentele tangențiale medii a vectorului în direcția trecerii buclei — cu lungimea buclei.