De ce numerele complexe sunt folosite pentru calcule în circuitele de curent alternativ

După cum știți, numerele complexe sunt folosite pentru a rezolva unele probleme tipice în inginerie electrică. Dar pentru ce sunt folosite și de ce se face așa? Acesta este ceea ce vom încerca să înțelegem pe parcursul acestui articol. Faptul este că metoda complexă sau metoda amplitudinilor complexe este convenabilă pentru calcularea circuitelor complexe de curent alternativ. Și, pentru început, să ne amintim câteva elemente de bază ale matematicii:

După cum puteți vedea, numărul complex z include partea imaginară și partea reală, care diferă unele de altele și sunt notate diferit în text. Numărul complex z însuși poate fi scris în formă algebrică, trigonometrică sau exponențială:

Fundal istoric

Se crede că ideea numerelor imaginare a început în 1545, când matematicianul, inginerul, filozoful, medicul și astrologul italian Girolamo Cardano a publicat această metodă de rezolvare a ecuațiilor în tratatul său „Marea artă”, unde, potrivit printre altele, , a recunoscut că Niccolò i-a dat ideea lui Tartaglia (un matematician italian) cu 6 ani înainte de publicarea acestei lucrări. În lucrarea sa, Kradano rezolvă ecuații de forma:

În procesul de rezolvare a acestor ecuații, omul de știință a fost forțat să admită existența unui număr „ireal”, al cărui pătrat va fi egal cu minus unu „-1”, adică ca și cum ar fi o rădăcină pătrată a unui număr negativ, iar dacă este acum la pătrat, se va dovedi a fi numărul negativ corespunzător sub rădăcină. Cardano a afirmat regula înmulțirii, conform căreia:

Timp de trei secole, comunitatea matematică a fost în proces de obișnuire cu noua abordare propusă de Cardano. Numerele imaginare prind treptat rădăcini, dar matematicienii sunt reticenți în a accepta. Abia după publicarea lucrărilor lui Gauss despre algebră, unde a demonstrat teorema fundamentală a algebrei, numerele complexe au fost în sfârșit acceptate pe deplin, secolul al XIX-lea era la îndemână.

Numerele imaginare au devenit un adevărat salvator de vieți pentru matematicieni, deoarece cele mai complexe probleme au devenit mult mai ușor de rezolvat prin acceptarea existenței numerelor imaginare.

Așa că s-a ajuns curând la inginerie electrică. Circuitele de curent alternativ erau uneori foarte complexe și trebuiau calculate multe integrale pentru a le calcula, ceea ce era adesea foarte incomod.

În cele din urmă, în 1893, genialul inginer electric Carl August Steinmetz a vorbit la Chicago la Congresul Electrotehnic Internațional cu un raport „Numerele complexe și aplicarea lor în inginerie electrică”, care a marcat de fapt începutul aplicării practice de către ingineri a metodei complexe de calcularea circuitelor electrice pentru curent alternativ.

Știm asta de la cursul de fizică curent alternativ — acesta este un curent care se modifică în timp atât în ​​magnitudine, cât și în direcție.

În tehnologie, există diferite forme de curent alternativ, dar cel mai răspândit astăzi este curentul sinusoidal alternativ, acesta este ceea ce se folosește peste tot, cu ajutorul căruia se transmite electricitate, sub formă de curent alternativ, care este generat, convertit prin transformatoare și este consumată de sarcini. Un curent sinusoidal se modifică periodic conform unei legi (armonice) sinusoidale.

Valorile efective ale curentului și tensiunii sunt mai mici decât valorile amplitudinii rădăcinii de două ori:

În metoda complexă, valorile efective ale curenților și tensiunilor sunt scrise după cum urmează:

Rețineți că în inginerie electrică, unitatea imaginară este notă cu litera «j», deoarece litera «i» este deja folosită aici pentru a desemna curent.

Din Legea lui Ohm determină valoarea complexă a rezistenței:

Adunarea și scăderea valorilor complexe se face în formă algebrică, iar înmulțirea și împărțirea în formă exponențială.

Să luăm în considerare metoda amplitudinilor complexe folosind exemplul unui circuit specific cu anumite valori ale parametrilor principali.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind numere complexe

Dat:

• tensiune bobina 50 V,

• rezistență rezistență 25 ohmi,

• inductanța bobinei 500 mH,

• capacitatea electrică a condensatorului este de 30 microfaradi,

• rezistența bobinei 10 Ohm,

• frecvența rețelei 50 Hz.

Găsiți: citirile ampermetrului și voltmetrului, precum și wattmetrul.

Răspuns:

Pentru început, notăm rezistența complexă a elementelor conectate în serie, care constă din părți reale și imaginare, apoi găsim rezistența complexă a unui element activ-inductiv.

Amintirea! Pentru a obține forma exponențială, găsiți modulul z egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor părților reale și imaginare și phi egal cu arctangenta coeficientului părții imaginare împărțit la partea reală.

Apoi găsim curentul și, în consecință, citirile ampermetrului:

Deci, ampermetrul arată un curent de 0,317 A - acesta este curentul prin întregul circuit în serie.

Acum vom găsi rezistența capacitivă a condensatorului, apoi vom determina rezistența sa complexă:

Apoi calculăm impedanța complexă totală a acestui circuit:

Acum găsim tensiunea efectivă aplicată circuitului:

Voltmetrul va indica o tensiune efectivă de 19,5 volți.

În sfârșit, găsim puterea pe care o va afișa wattmetrul, ținând cont de diferența de fază dintre curent și tensiune

Wattmetrul va indica 3,51 wați.

Acum înțelegeți cât de importante sunt numerele complexe în inginerie electrică. Sunt utilizate pentru calcularea convenabilă a circuitelor electrice. Multe dispozitive electronice de măsurare funcționează pe aceeași bază.