O metodă simbolică pentru calcularea circuitelor AC

O metodă simbolică de operații cu mărimi vectoriale se bazează pe o idee foarte simplă: fiecare vector este descompus în două componente: una orizontală, care trece de-a lungul abscisei, și a doua, verticală, care trece de-a lungul ordonatei. În acest caz, toate componentele orizontale urmează o linie dreaptă și pot fi adăugate prin simplă adunare algebrică, iar componentele verticale sunt adăugate în același mod.

Această abordare are ca rezultat, în general, două componente rezultate, una orizontală și una verticală, care sunt întotdeauna adiacente una cu cealaltă la același unghi de 90°.

Aceste componente pot fi folosite pentru a găsi rezultatul, adică pentru adunare geometrică. Componentele dreptunghiulare reprezintă catetele unui triunghi dreptunghic, iar suma lor geometrică reprezintă ipotenuza.

Se mai poate spune ca suma geometrica este egala numeric cu diagonala unui paralelogram construit pe componente precum si pe laturile lui... Daca componenta orizontala se noteaza cu AG si componenta verticala cu AB, atunci suma geometrica ( 1)

Găsirea sumei geometrice a triunghiurilor dreptunghiulare este mult mai ușoară decât triunghiurile oblice. Este ușor de observat că (2)

devine (1) dacă unghiul dintre componente este de 90 °. Deoarece cos 90 = 0, ultimul termen din expresia radicală (2) dispare, drept urmare expresia se simplifică foarte mult. Rețineți că înaintea cuvântului „sumă” trebuie adăugat unul dintre cele trei cuvinte: „aritmetică”, „algebrică”, „geometrică”.

Smochin. 1.

Cuvântul „suma” fără a preciza care duce la incertitudine și în unele cazuri la erori grosolane.

Reamintim că vectorul rezultat este egal cu suma aritmetică a vectorilor în cazul în care toți vectorii merg de-a lungul unei linii drepte (sau paralele între ei) în aceeași direcție. În plus, toți vectorii au un semn plus (Fig. 1, a).

Dacă vectorii merg de-a lungul unei linii drepte, dar indică în direcții opuse, atunci rezultatul lor este egal cu suma algebrică a vectorilor, caz în care unii termeni au semnul plus, iar alții au semnul minus.

De exemplu, în diagrama din fig. 1, b U6 = U4 — U5. De asemenea, putem spune că suma aritmetică este folosită în cazurile în care unghiul dintre vectori este zero, algebric când unghiurile sunt 0 și 180 °. În toate celelalte cazuri, adunarea se realizează vectorial, adică se determină suma geometrică (Fig. 1, c).

Exemplu... Determinați parametrii undei sinusoidale echivalente pentru circuitul Fig. 2, dar simbolic.

Răspuns. Să desenăm vectorii Um1 Um2 și să-i descompunem în componente. Din desen se poate observa că fiecare componentă orizontală este valoarea vectorială înmulțită cu cosinusul unghiului de fază, iar verticala este valoarea vectorială înmulțită cu sinusul unghiului de fază. Apoi

Smochin. 2.

În mod evident, componentele orizontale și verticale totale sunt egale cu sumele algebrice ale componentelor corespunzătoare. Apoi

Componentele rezultate sunt prezentate în Fig. 2, b. Determinați valoarea lui Um pentru aceasta, calculați suma geometrică a celor două componente:

Determinați unghiul de fază echivalent ψeq. Smochin. 2, b, se poate observa că raportul dintre componenta verticală și cea orizontală este tangenta unghiului de fază echivalent.

Unde

Sinusoida astfel obținută are o amplitudine de 22,4 V, o fază inițială de 33,5 ° cu aceeași perioadă ca și componentele. Rețineți că pot fi adăugate numai unde sinusoidale de aceeași frecvență, deoarece la adăugarea curbelor sinusoidale de frecvențe diferite, curba rezultată încetează să fie sinusoidală și toate conceptele aplicabile numai semnalelor armonice devin invalide în acest caz.

Să reluăm încă o dată întregul lanț de transformări care trebuie făcute cu descrierile matematice ale formelor de undă armonice la efectuarea diferitelor calcule.

În primul rând, funcțiile temporale sunt înlocuite cu imagini vectoriale, apoi fiecare vector este descompus în două componente reciproc perpendiculare, apoi componentele orizontale și verticale sunt calculate separat, iar în cele din urmă sunt determinate valorile vectorului rezultat și ale fazei sale inițiale.

Această metodă de calcul elimină nevoia de a adăuga grafic (și în unele cazuri de a efectua operații mai complexe, de exemplu, înmulțirea, împărțirea, extragerea rădăcinilor etc.) curbe sinusoidale și recurgerea la calcule folosind formulele triunghiurilor oblice.

Cu toate acestea, este destul de greoi să calculați separat componentele orizontale și verticale ale operațiunii.În astfel de calcule, este foarte convenabil să aveți un astfel de aparat matematic cu care puteți calcula ambele componente simultan.

Deja la sfârșitul secolului trecut, a fost dezvoltată o metodă care permite calcule simultane ale numerelor trasate pe axe reciproc perpendiculare. Numerele de pe axa orizontală au fost numite reale, iar numerele de pe axa verticală au fost numite imaginare. La calcularea acestor numere, se adaugă un factor de ± 1 numerelor reale și ± j numerelor imaginare (a se citi „xi”). Se numesc numere formate din părți reale și imaginare complex, iar metoda de calcule efectuată cu ajutorul lor este simbolică.

Să explicăm termenul „simbolic”. Funcțiile care trebuie calculate (armonice în acest caz) sunt originale, iar acele expresii care le înlocuiesc pe originale sunt imagini sau simboluri.

Atunci când se utilizează metoda simbolică, toate calculele sunt efectuate nu pe originalele în sine, ci pe simbolurile (imaginile) ale acestora, care în cazul nostru reprezintă numerele complexe corespunzătoare, deoarece este mult mai ușor să efectuați operații pe imagini decât pe originalele în sine.

După ce toate operațiunile de imagine sunt finalizate, originalul corespunzător imaginii rezultate este înregistrat pe imaginea rezultată. Majoritatea calculelor din circuitele electrice se fac folosind metoda simbolică.