Fundamentele și legile algebrei logicii

Matematician irlandez de la mijlocul secolului al XIX-lea George Bull a dezvoltat algebra logicii („Studiul legilor gândirii”). De aceea se mai numește și algebra logicii algebră booleană.

Prin acordarea desemnărilor de litere, exprimând operațiile de transformări logice în simboluri de acțiune și folosind regulile și axiomele stabilite pentru aceste acțiuni, algebra logicii permite ca procesul de raționament în rezolvarea unei probleme date în termenii logicii enunțului să fie descris complet în algoritmi. , adică să aibă un program scris matematic care să rezolve această problemă.

Pentru a denota adevărul sau falsitatea enunțurilor (adică pentru a introduce valori pentru evaluarea enunțurilor), algebra logicii folosește un sistem binar, convenabil în acest caz. Dacă enunțul este adevărat, ia valoarea 1, dacă este fals, ia valoarea 0. Spre deosebire de numerele binare, 1urile și 0urile logice nu exprimă o cantitate, ci o stare.

Deci, în circuitele electrice descrise folosind algebra booleană, unde 1 este prezența tensiunii și 0 este absența acesteia, alimentarea tensiunilor de la mai multe surse la un nod al circuitului (adică sosirea mai multor unități logice ale acestuia) este de asemenea, arată ca o unitate logică care indică nu tensiunea totală la nod, ci doar prezența acestuia.

Când se descriu semnalele de intrare și de ieșire ale circuitelor logice, sunt utilizate variabile care iau valorile numai 0 sau 1 logic. Dependența semnalelor de ieșire de intrare este determinată operație logică (funcție)… Să notăm variabilele de intrare cu X1 și X2, iar rezultatul obținut printr-o operație logică asupra lor cu y.

Mai gandeste-te trei operații logice elementare de bază, cu ajutorul cărora pot fi descrise altele din ce în ce mai complexe.

1. Operațiune SAU – adăugare logică:

Având în vedere toate valorile posibile ale variabilelor, se poate defini operația SAU ca suficiența a cel puțin unei unități în intrare pentru a produce una în ieșire. Numele operației este explicat prin semnificația semantică a uniunii SAU în fraza: «Dacă SAU este o intrare SAU a doua este una, atunci ieșirea este una.»

2. Operația ȘI — înmulțire logică:

Din luarea în considerare a setului complet de valori ale variabilelor, operația AND este definită ca necesitatea de a potrivi toate cele de pe intrări pentru a obține una la ieșire: „Dacă AND este o intrare și a doua este unii, atunci ieșirea este una. «

3. Operațiunea NOT — negație sau inversare logică. Este indicată de o bară deasupra variabilei.

Când este inversată, valoarea variabilei este inversată.

Legile de bază ale algebrei logice:

1. Legea setului zero: produsul oricărui număr de variabile dispare dacă oricare dintre variabile este zero, indiferent de valorile altor variabile:

2. Legea multimii universale — suma oricărui număr de variabile devine una dacă cel puțin una dintre variabile are valoarea unu, indiferent de celelalte variabile:

3. Legea repetitiei — variabilele repetate din expresie pot fi omise (cu alte cuvinte, nu există exponențiere și înmulțire cu un coeficient numeric în algebra booleană):

4. Legea dublei inversiuni — inversarea efectuată de două ori este o operație goală:

5. Legea complementarităţii — produsul fiecărei variabile și inversul acesteia este zero:

6. Suma fiecărei variabile și reciproca acesteia este una:

7. Legi protectoare — rezultatul efectuării operațiilor de înmulțire și adunare nu depinde de ordinea în care urmează variabilele:

8. Legi combinate — în timpul operațiilor de înmulțire și adunare, variabilele pot fi grupate în orice ordine:

9. Legile de distribuție — este permisă introducerea coeficientului total în afara parantezei:

10. Legile absorbției — indicați modalități de simplificare a expresiilor care implică o variabilă în toți factorii și termenii:

11. Legile lui De Morgan — inversia produsului este suma inversiilor variabilelor:

inversarea sumei este produsul inversiilor variabilelor: